Effectivement, la durée maximale de la période d’essai pour votre cuisinier est bien de 2 mois de période d’essai initiale, renouvelable pour 2 mois. Donc la durée prévue est légale. Mais pour le renouvellement de la période d’essai, il faut avoir obtenu l’accord écrit de votre salarié avant la fin de la période initiale. Si vous n’avez pas cet accord écrit, il est effectivement en CDI.
La période d’essai et la possibilité de la renouveler ne se présument pas. Elles doivent être expressément prévues dans le contrat de travail ou la lettre d’embauche (article L.121-23).
Les employeurs des CHR peuvent renouveler la période d’essai de leur salarié : cette possibilité est prévue par l’article 13 de la convention collective des CHR du 30 avril 1997, sauf pour les salariés embauchés au niveau I, échelon pour lesquels la convention l’interdit.
La possibilité de renouvellement doit également être prévue dés l’embauche dans le contrat de travail ou la lettre d’engagement (art. L. 1221-23). En l’absence d’une telle mention dans le contrat de travail, le renouvellement de la période d’essai n’est pas possible.
Renouvellement qui nécessite aussi l’accord exprès du salarié. Accord qui doit être demandé au cours de la période initiale et avant l’expiration de celle-ci.

Vous devez proposer le renouvellement de la période d'essai avant la fin de la période d'essai initiale. Dans le cas proposé, le salarié a une période d'essai de 2 mois, il faut donc proposer le renouvellement avant la fin de cette période. mais pour tenir compte aussi du délai de prévenance et de l'éventuel refus du salarié, il convient de proposer le renouvellement deux semaines avant la fin de la période initiale. Ce qui permet de mettre fin à la période d'essai dans les temps. Sinon, si vous dépassez le délai de ces deux semaines et que vous souhaitez mettre fin à la période d'essai il faudra payer au salarié les jours de prévenance qui n'auront pu être respectés, mais surtout ne pas laisser le salarié travailler au-delà de la période initiale sans renouvellement signé par ce dernier, car il serait engagé dans une relation à durée indéterminée qui ne pourrait prendre fin que par un licenciement motivé.

Effectivement, vous devez cotiser pour la retraite et le chômage sans bénéficier de nouveaux droits.