Avant de vous préoccuper du délai de carence à respecter entre deux CDD, il convient d'avoir un motif de recours.
En effet, sachez que les motifs de recours sont strictement énumérés à l'article L.1242-2 du code du travail qui prévoit :

"Sous réserve des dispositions de l'article L.1242-3, un contrat de travail à durée déterminée ne peut être conclu que pour l'exécution d'une tâche précise et temporaire, et seulement dans les cas suivants :

1° remplacement d'un salarié en cas :
a) d'absence ;
b) de passage provisoire à temps partiel, conclu par avenant à son contrat de travail ou par échange écrit entre ce salarié et son employeur ;
c) de suspension de son contrat de travail ;
d) de départ définitif précédant la suppression de son poste de travail après consultation du comité d'entreprise ou, à défaut, des délégués du personnel, s'il en existe ;
e) d'attente de l'entrée en service effective du salarié recruté par contrat à durée indéterminée appelé à le remplacer ;

2° accroissement temporaire de l'activité de l'entreprise ;

3° emplois à caractère saisonnier ou pour lesquels, dans certains secteurs d'activité définis par décret ou par convention ou accord collectif de travail étendu, il est d'usage constant de ne pas recourir au contrat de travail à durée indéterminée en raison de la nature de l'activité exercée et du caractère par nature temporaire de ces emplois ;

4° remplacement d'un chef d'entreprise artisanale, industrielle ou commerciale, d'une personne exerçant une profession libérale, de son conjoint participant effectivement à l'activité de l'entreprise à titre professionnel et habituel ou d'un associé non salarié d'une société civile professionnelle, d'une société civile de moyens ou d'une société d'exercice libéral ;

5° remplacement du chef d'une exploitation agricole ou d'une entreprise mentionnée aux 1° à 4° de l'article L. 722-1 du code rural, d'un aide familial, d'un associé d'exploitation, ou de leur conjoint mentionné à l'article L. 722-10 du même code dès lors qu'il participe effectivement à l'activité de l'exploitation agricole ou de l'entreprise."

En conséquence, quand vous utilisez un contrat à durée déterminée, vous êtes obligé d'établir un contrat écrit et de bien préciser dans ce dernier le motif de recours que vous utilisez. je ne pense pas que vous puissiez justifier d'un motif de recours. La seule solution dans votre cas, est de lui faire bénéficier d'un CDI.