Vous avez raison, et la réponse qui vous a été donné est fausse.
Vous avez effectivement droit à l'indemnité de précarité pour votre premier CDD à la condition qu'il ne s'agisse pas d'un contrat saisonnier qui ne donne pas droit à cette prime de précarité.
Cette question a d'ailleurs fait l'objet d'une réponse dans ce blog sous le titre "quand verser l'indemnité de précarité en cas de succession de CDD" figurant dans le chapitre sur les contrats à durée déterminée.
Cette règle est posée par l'article L.122-3-4 du code du travail qui prévoit qu'à l'issue d'un contrat de travail à durée déterminée, lorsque les relations contractuelles de travail ne se poursuivent pas par un contrat de travail à durée indéterminée, le salarié à droit, à titre de complément de salaire, à une indemnité destinée à compenser la précarité de sa situation.

Cette indemnité de fin de contrat doit être notamment versée au salarié en cas de poursuite des relations contractuelles par un nouveau contrat à durée déterminée. L'indemnité est due pour chaque contrat et doit être versé à chaque fin de contrat. (circulaire DRT n° 18-90 du 30 octobre 1990).

En cas de CDD successifs suivis d'une embauche définitive, seule l'indemnité se rapportant au dernier contrat à durée déterminée n'est pas due (Cass. soc. 5 février 1992).