J'ai des problèmes avec votre question. Vous dites que la période d'essai avec son renouvellement prend fin le 31 décembre, date à laquelle vous posez la question. Il est un peu tard, car dans votre cas la période d'essai aurait du se terminer le 31 décembre. Il aurait donc fallu notifier au plus tard à cette date la fin de la période d'essai et payer en compensation le délai de prévenance qui n'a pu être respecté.
En sachant que dans votre cas, vous pouviez instaurer une période d'essai de 2 mois avec un renouvellement de 2 mois, ce qui faisait un fin de période d'essai au 31 janvier. mais si vous n'avez prévu qu'un mois de renouvellement vous êtes alors obligé de respecter ce délai.

J'ai un peu de mal à m'y retrouver dans vos explications. Vous avez renouvelé la période d'essai de cette salarié. Puis vous lui avez notifié la prolongation de celle-ci du fait de son arrêt maladie. Celle-ci vient de prolonger à nouveau son arrêt de travail, ce qui prolonge d'autant sa période d'essai. Je ne vois pas d'obligation de lui notifier à chaque prolongation d'arrêt de travail, la prolongation de sa période d'essai.
Il est vrai, que si vous voulez la licencier il vaut mieux attendre son retour, car la maladie ne peut être un motif. Er le faire pendant son absence pour maladie, laisse supposer que c'est la maladie le motif et non ses qualités professionnelles. A son retour, il convient d'attendre quelques jours et ensuite de rompre la période d'essai.
Si le 11 octobre vous n'avez pas de nouvelles de cette salariée, vous devez aussitôt lui adresser une lettre recommandée avec accusé de réception lui demandant de justifier son absence ou de reprendre son travail. Il ne faut surtout pas attendre ou ne rien faire face au silence de cette salariée.

La période d’essai est destinée à tester les aptitudes du salarié à remplir ses fonctions. Ainsi, en cas d’absence au cours de cette période, la jurisprudence admet la possibilité de prolonger l’essai d’une durée équivalente sous certaines conditions. Il a été jugé que la prolongation de l’essai était possible dans les cas suivants :

- prise de congés payés annuels (Cass.soc. 31 janvier 2018, n° 16-11.958) ;

- fermeture annuelle de l’entreprise (Cass.soc. 27 novembre 1985, n° 82-42581) ;

- congé sans solde (Cass.soc. 3 juin 1998, n° 96-40344) ;

- maladie (Cass.soc. 20 janvier 2011, n° 09-42492) ;

- accident du travail (Cass.soc 12 janvier 1993, n° 88-44572) ;

- accident de trajet (Cass. soc. 4 avril 2012, n° 10-23876).

La durée de la prolongation doit correspondre exactement à la durée de l’absence, au jour près. Le décompte se fait en jours calendaires.